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【导语】量子纠缠作为量子力学中的核心概念，近年来在量子信息科学与凝聚态物理等领域中展现出重要价值。然而，精确计算大尺寸量子多体系统中的纠缠熵面临高昂的计算代价和技术壁垒。本文介绍了一种创新的量子蒙特卡罗模拟方法——双组份重赋权退火算法，该算法实现了纠缠熵及其导数的高效扫描，不仅拓展了计算范围，还揭示了量子多体系统在临界点附近和不同相中的普适行为。这一研究为深入理解凝聚态系统与量子纠缠的关系提供了新的视角和工具。

作者按

尽管现有的量子蒙卡算法可实现大尺寸量子多体系统中纠缠熵的精确计算，但其高昂的计算代价和较高的技术壁垒严重限制了大规模纠缠熵数据的提取，从而也限制了我们对凝聚态系统与量子纠缠深刻关系的进一步(bù)理(lǐ)解。为此，我们提出了一(yī)种(zhǒng)基(jī)于量子蒙特卡罗模拟的创新性解决方案——双组份重赋权退火算法（bipartite reweight-annealing algorithm）。该算法实现了量子多体系统纠缠熵及其导数的高效扫描，通过此算法，我们成功揭示这些量在临界点附近和不同相中的普适行为。除此之外，该方法具有一定的普适性：它不仅可以拓展到费米子系统，也可以用来计算纠缠负值度(negativity)，同时还(hái)可(kě)以(yǐ)作(zuò)为(wèi)非(fēi)对(duì)角(jiǎo)测(cè)量(liàng)的(de)一般性解决办法。

撰文 | 王哲、严正（西湖大学物理系）

量子纠缠自量子力学诞生之初，其“诡异”特性一直是科学界争议与探讨的焦点。早期研究主要关注其理论本质及对量子力学基础的挑战，近三十年来，随着量子信息科学的突破性进展，量子纠缠已发展成为跨学科研究的核心枢纽。

在基础科学层面，纠缠理论已深度融入原子物理、量子光学、高能物理乃至宇宙学研究。在交叉应用领域，其与凝聚态物理、统计力学及量子场论的深度融合，催生了多体量子系统研究的新范式。特别是，纠缠理论对凝聚态物理产生了革命性影响。当前，在量子信息科学与传统物质科学的交叉前沿，通过纠缠视角揭示量子多体系统的演化规律与临界行为，已成为理论物理最具活力的研究方向之一。量子多体纠缠的相关标度理论已成为研究量子物质态的基本组织原理，其标度行为深刻揭示了量子多体态的内在结构，并用于区分不同量子相及其相变。但是，目前对于二维及高维强关联多体系统而言，现有纠缠熵计算方(fāng)法(fǎ)面(miàn)临(lín)计(jì)算(suàn)成(chéng)本(běn)高(gāo)昂(áng)、技(jì)术(shù)复(fù)杂(zá)度(dù)高(gāo)等(děng)挑(tiāo)战(zhàn)。这(zhè)使(shǐ)得(de)研(yán)究(jiū)者(zhě)无(wú)法(fǎ)像(xiàng)在(zài)一(yī)维(wéi)系(xì)统(tǒng)那(nà)样(yàng)，通(tōng)过(guò)扫(sǎo)描(miáo)纠(jiū)缠(chán)熵(shāng)来(lái)完(wán)整(zhěng)刻(kè)画(huà)量(liàng)子(zi)物(wù)相(xiāng)及(jí)相(xiāng)图(tú)并(bìng)精(jīng)确(què)表(biǎo)征(zhēng)临(lín)界(jiè)现(xiàn)象(xiàng)，制(zhì)约(yuē)了(le)基(jī)于(yú)纠(jiū)缠(chán)熵(shāng)对(duì)于(yú)凝(níng)聚(jù)态(tài)系(xì)统(tǒng)的(de)全面(miàn)分(fēn)析(xī)。

受(shòu)限(xiàn)于(yú)现(xiàn)代(dài)计(jì)算(suàn)机(jī)的(de)内(nèi)存(cún)容(róng)量(liàng)，严(yán)格(gé)对(duì)角(jiǎo)化(huà)或(huò)者(zhě)密(mì)度(dù)矩(ju)阵(zhèn)重(zhòng)整(zhěng)化(huà)群(qún)一(yī)类(lèi)的(de)方(fāng)法(fǎ)在(zài)二(èr)维(wéi)强(qiáng)关联(lián)系(xì)统(tǒng)所(suǒ)能(néng)计(jì)算(suàn)的(de)系(xì)统(tǒng)尺(chǐ)寸(cùn)相(xiāng)对(duì)较(jiào)小(xiǎo)，或(huò)者(zhě)局(jú)限于一些维系统。在二维及高维系统，现有的纠缠熵算法主要是借助于量子蒙特卡洛模拟(nǐ)来(lái)实(shí)现(xiàn)的(de)。让(ràng)我(wǒ)们(men)首(shǒu)先(xiān)对(duì)现(xiàn)有(yǒu)的(de)纠(jiū)缠(chán)熵(shāng)蒙(méng)特(tè)卡(kǎ)洛(luò)方(fāng)法(fǎ)进(jìn)行(xíng)一(yī)个(gè)总(zǒng)结(jié)。冯(féng)诺(nuò)依(yī)曼(màn)熵(shāng)的(de)计(jì)算(suàn)往(wǎng)往(wǎng)需(xū)要(yào)得(de)到(dào)具(jù)体(tǐ)的(de)波(bō)函(hán)数(shù)，这(zhè)对(duì)于(yú)蒙(méng)卡(kǎ)计(jì)算(suàn)非(fēi)常(cháng)具(jù)有(yǒu)挑(tiāo)战(zhàn)性(xìng)。在(zài)这(zhè)里(lǐ)，我(wǒ)们(men)主要(yào)介(jiè)绍(shào)冯(féng)诺(nuò)依(yī)曼(màn)熵(shāng)的(de)单(dān)参(cān)数(shù)推(tuī)广(guǎng)——n阶(jiē)Rényi纠(jiū)缠(chán)熵(shāng)

尺(chǐ)寸(cùn)的(de)增(zēng)加(jiā)指(zhǐ)数(shù)衰(shuāi)减(jiǎn)，所(suǒ)以(yǐ)通(tōng)过(guò)这(zhè)种(zhǒng)办(bàn)法(fǎ)只(zhǐ)对(duì)小(xiǎo)系(xì)统(tǒng)奏(zòu)效(xiào)，无(wú)法(fǎ)通(tōng)过(guò)蒙(méng)卡(kǎ)模(mó)拟(nǐ)精(jīng)确(què)计(jì)算(suàn)大(dà)尺寸的纠缠熵。

为克服这一困难，文献[1, 3]提出了纠缠区域增量法，其核心思想是将自旋逐渐放入纠缠区域，并将所有中间过程的比率连乘，最终得到目标比值。将一个极小的值分解为多个较大值的乘积，通过计算每个中间比率，可高精度提取纠缠熵。但该算法的缺点是：格点数必须为整数，导致中间过程只能拆分为有限步骤，且部分中间比率仍可能趋近于零；计算过程中副本流形（replica manifold）会因中间步骤而改变，这增加了量子蒙特卡洛模拟的

造），使得中间的增量连续化，即，可以根据计算需求，进行中间过程的任意分割[4, 5]。该方法的优势是：能够模拟到前所未有的系统尺寸和精度。不足之处是：需引入额外的细致平衡条件，显著增加了算法实现的复杂度；由于虚拟中间过程的非物理特性，这些中间结果无法有效利用，导致大量的计算资源浪费。

我们最近提出了一种双组份重赋权退火[6,7]量子蒙特卡洛新算法[8]。与传统算法直接计算

整个参数路径下两种配分函数的比值一次性求解。这种方式的主要优势可概括为以下两点：一是单次模拟即可获得纠缠熵随参数的连续变化曲线，大大降低了计算成本；二是算法实现简化，无需复杂流形切换，模拟各自流形即可，代码易扩展至各类多体模型，例如费米子模型等[9]。此外，我们想强调的是，这种双组份重赋权退火的思想是具有普适性的。除了本文所着重强调的纠缠熵外，它也可以用来(lái)计(jì)算(suàn)Rényi负值度(negativity)[10]。

以看成测量两个不同配分函数的比值，过去我们不知道如何直接计算这两种配分函数的比值，而现(xiàn)在可以应用双组份重赋权退火量子蒙特卡洛算法来计算。

此外，我们还提出了一种无需依赖密集纠缠熵数据、避免数值微分的方法来计算纠缠熵的导数。该公式仅需计算不同时空流形下的能量差值即可直接获得纠缠熵导数结果。这使得我们首次计算了二维强关联自旋系统中纠缠熵导数。

下面我们来着重聊一下怎样通过双组份重赋权退火来高效计算多体纠缠熵[8]。

情况可以是直积态，也可以是将环境与纠缠区域之间的相互作用调为零）。在论文中我们还给出了另外一种方法：从精确对角化可解的尺寸开始，通过迭代退火系统的尺寸（将若干个小系统之间的耦合强度从0退火增大到目标值，从而得到大尺寸系统），最终得到大尺寸纠缠熵的值[8]。

总结来看：两个配分函数单独计算；中间的路径是沿着实际参数路线，所得到的纠缠熵值都是物理的。到现在为止，大家可能已经能感受到该算法的优势：单次模拟即可获得纠缠熵随参数的连续变化曲线，大大降低了计算成本；算法实现简化，无需复杂流形切换，代码易扩展至各类多体模型。

如果你觉得以上计算仍然复杂，计算量仍然大，但又想通过纠缠熵来做点事情的话，可以考虑纠缠熵的导数。可能你此时立马就又有疑问啦：数值方法一般都是通过数值微分来计算相应物理量的导数，往往需要稠密并且更加精确的原函数数据，那岂不是计算代价爆棚？但事实也并非如此，例如，比热和磁化率并不用通过对能量或磁化的数值微分而得到，其有自己独立计算公式。在我们的工作[8]中，我们推导了纠缠熵导数的计算公式，并通过数值的结果证明了它的正确性。公式如下（具体的推导过程见[8]）：

为了清晰起见，我们拿一个具体的模型来翻译一下这个公式。以自旋-1/2 二聚化海森堡模

该很容易就能看出，这类似于在两个不同的流形下分别计算能量。有了导数，这同时也启发我们另外一种计算纠缠熵的方法——积分法（顾名思义就是把导数乘以参数的差值然后求和起来）。如图2，我们的数据证实了这一点，同时也证明了导数计算公式的正确性。这一计算导数方法的优势在于：无需数值微分（无需稠密的纠缠熵数据），可以根据计算需求进行任意参数点计算，大大降低了计算成本；计算属于对角测量，程序编写简单。

符合理论预测的。此外，我们通过纠缠熵与其导数全面表征了临界现象。在这之前，有关纠缠熵的工作主要是聚焦在系统的某个确定相或已知临界点上。而在我们的工作中，结合纠缠熵及其导数能完整地提取到系统的临界点及其临界指数。如图3(a2)和(b2)所示，纠缠熵在临界点处会有凸凹性的变化，这在其导数数据上体现得更加清晰，可以看到其导数在临界点处有个峰。通过外推峰的位置，我们可以确定系统的临界点。同时，我们提取了纠缠熵面积律前面的系数，如图3(a4)和(b4) 所示。结合纠缠熵标度公式的主项系数满足|a(J)-a(Jc)|~|J-Jc|ν[12,13]，我们成功提取了普适的临界指数ν。

总结来看，在量子蒙卡的框架下，我们创新性地引入了双组份重赋权退火方案。它应用灵活、便于推广，不仅可以计算玻色[8]和费米系统的纠缠熵文[9]，还可以用来计算Rényi负值度 (negativity) [10]和魔法（magic）或不稳定性（non-stabilizerness）[14], 同时还可以作为非对角测量的一种普适测量方法[11]。对这些工作感兴趣的朋友们，可以阅读我们相关的文章。

参考文献

[1] Matthew B. Hastings, Iván González, Ann B. Kallin,and Roger G. Melko. Measuring renyi entanglement entropy in quantum monte carlo simulations. Phys. Rev. Lett., 104:157201, Apr 2010.

[2]David J. Luitz, Xavier Plat, Nicolas Laflorencie, and Fabien Alet. Improving entanglement and thermodynamic rényi entropy measurements in quantum monte carlo. Phys. Rev. B, 90:125105, Sep 2014.

[3] Stephan Humeniuk and Tommaso Roscilde. Quantum monte carlo calculation of entanglement rényi entropies for generic quantum systems. Phys. Rev. B, 86:235116, Dec 2012.

[4] Jonathan D’Emidio. Entanglement entropy from nonequilibrium work. Phys. Rev. Lett., 124:110602,

Mar 2020.

[5] Vincenzo Alba. Out-of-equilibrium protocol for rényi entropies via the jarzynski equality. Physical Review E, 95 (6):062132, 2017

[6]Yi-Ming Ding, Jun-Song Sun, Nvsen Ma, Gaopei Pan, Chen Cheng, and Zheng Yan. Reweight-annealing

method for evaluating the partition function via quantum monte carlo calculations. Phys. Rev. B, 110:165152, Oct 2024.

[7]Zenan Dai and Xiao Yan Xu. Residual entropy from the temperature incremental monte carlo method. Phys. Rev. B, 111:L081108, Feb 2025.

[8] Z. Wang, Z. Wang, Y.-M. Ding, B.-B. Mao, and Z. Yan, Bipartite reweight-annealing algorithm to extract largescale data of entanglement entropy and its derivative in high precision, arXiv:2406.05324. Nat. Commun., in press

[9]W. Jiang, G. Pan, Z. Wang, B.-B. Mao, H. Shen, and Z. Yan, High-efficiency quantum monte carlo algorithm for extracting entanglement entropy in interacting fermion systems (2024), arXiv:2409.20009

[10]Y.-M. Ding, Y. Tang, Z. Wang, Z. Wang, B.-B. Mao, and Z. Yan, Tracking the variation of entanglement

r´enyi negativity: an efficient quantum monte carlo method (2024), arXiv:2409.10273.

[11] Z. Wang, Z. Liu, Z. Wang, and Z. Yan, Addressing general measurements in quantum monte carlo (2024), arXiv:2412.01384.

[12]Max A Metlitski, Carlos A Fuertes, and Subir Sachdev. Entanglement entropy in the o(n) model. Physical Review B, 80(11):115122, 2009.

[13] Johannes Helmes and Stefan Wessel. Entanglemententropy scaling in the bilayer heisenberg spin system. Phys. Rev. B, 89:245120, Jun 2014.

[14]Y.-M. Ding, Z. Wang, Z. Yan. Evaluating many-body stabilizer Rényi entropy by sampling reduced Pauli strings: singularities, volume law, and nonlocal magic. arxiv:2501.12146

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