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如果你家墙上或者地面上铺了瓷砖，你可以仔细观察一下。别小瞧了这样一个不起眼的现象，它背后是数学领域中一个重要的概念，被称为“铺砌”。一直以来，很多数学家一直在研究，什么样的几何形状可以通过组合无缝隙地填满无限的平面。

铺砌可以分为周期性和非周期性铺砌。比如我们熟悉的三角形、正方形或者六边形，它们不断重复排列，就能周期性地铺砌二维空间。如果不限于二维平面，在三维空间中，立方体也可以实(shí)现(xiàn)周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)。

图(tú)1：三(sān)角(jiǎo)形(xíng)、正方形、六边形可以周(zhōu)期(qī)性(xìng)地(de)铺(pù)砌(qì)平(píng)面(miàn)。

周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)的(de)一大特点是，它的整体图案可以通过平移或者旋转重现出来。我们可以想象一张无限大的黑白格的国际象棋棋盘，如果把它向右再向下平移两格，移动过后的图案和原先完全一样。

图2：一个无限延伸的国际象棋棋盘，可以通过平移来获得完全一样的图(tú)案(àn)。

相(xiāng)比(bǐ)之(zhī)下(xià)，非(fēi)周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺砌就要复杂得多。因为它需要非重复性的排列，无论你怎么平移或者旋

转都无法重现原本的图案。数学家最初发现的非周期性铺砌由超过两万种形状组成。而最著名的一个例子叫作彭罗斯铺砌，罗杰·彭罗斯成功用两种不同的菱形实现了非周期性铺砌。

图3：由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。

解决铺砌问题的典型思路是找到一些带拐角的形状进行拼接，就像二维平面中的三角形、正方形、六边形等等，这很符合直觉。如果让一些传统铺砌系统中形状的边弯曲，让拐角变“圆”时，这些被“软化”过的形状就没法不留缝隙地进行铺砌了。

然而，带拐角的形状在自然界中并不常见。最近，在一项发表在PNASNexus上的新研究中，数学家发现了一类新的形状，可以在没有任何拐角的情况下铺砌空间。这些新的几何形状带有圆角，他们将这些形状称为“软细胞”。

图4：新研究将一类新的可以无缝隙铺砌空间的形状命名为软细胞。第一行显示了等效于常规三角形的软铺砌，第二行显示了等效于长方形的软铺砌，第三行显示了等效于六边形的软铺砌。（图/Domokos et. al. / PNAS Nexus）

软细胞的特点是，这些形状在拐角数量最少的情况下能无缝隙铺砌空间。在二维空间里，所有软细胞都必须至少有两个“尖角”。而在三维空间中，软细胞变得更复杂但也(yě)更(gèng)有(yǒu)趣(qù)了(le)。它(tā)们(men)竟(jìng)然(rán)可(kě)以(yǐ)完(wán)全不(bù)带(dài)尖(jiān)角(jiǎo)，也(yě)能(néng)无(wú)缝(fèng)隙(xì)地(de)铺(pù)砌(qì)整(zhěng)个(gè)空(kōng)间(jiān)。

其(qí)实(shí)放(fàng)眼(yǎn)自(zì)然(rán)界(jiè)，这(zhè)种(zhǒng)形(xíng)状(zhuàng)的(de)铺(pù)砌(qì)模(mó)式(shì)完(wán)全不(bù)是(shì)新(xīn)鲜(xiān)事(shì)儿(ér)。小(xiǎo)到(dào)肌(jī)细(xì)胞(bāo)和(hé)洋(yáng)葱(cōng)鳞(lín)茎(jīng)的(de)层(céng)，再(zài)到(dào)斑(bān)马(mǎ)条(tiáo)纹(wén)，甚(shén)至(zhì)河(hé)流(liú)岛(dǎo)屿(yǔ)的(de)形(xíng)状(zhuàng)，都(dōu)有(yǒu)这(zhè)样(yàng)的(de)铺(pù)砌(qì)模(mó)式(shì)。而(ér)一(yī)个(gè)最(zuì)经(jīng)典(diǎn)的(de)软(ruǎn)细(xì)胞(bāo)铺(pù)砌(qì)的(de)例(lì)子(zi)就(jiù)是(shì)鹦(yīng)鹉(wǔ)螺(luó)的(de)壳(ké)室(shì)。从(cóng)横(héng)截(jié)面(miàn)来(lái)看(kàn)，鹦(yīng)鹉(wǔ)螺(luó)的(de)壳(ké)室(shì)看(kàn)起(qǐ)来(lái)像(xiàng)是(shì)有(yǒu)着(zhe)两(liǎng)个(gè)尖(jiān)角(jiǎo)的(de)二(èr)维(wéi)软(ruǎn)细(xì)胞(bāo)，但(dàn)实(shí)际(jì)上(shàng)，在(zài)三(sān)维(wéi)空(kōng)间(jiān)中(zhōng)，它(tā)的(de)壳(ké)室(shì)没(méi)有(yǒu)任(rèn)何(hé)拐(guǎi)角(jiǎo)。

图(tú)5：鹦(yīng)鹉(wǔ)螺(luó)腔(qiāng)室(shì)的(de)几(jǐ)何(hé)形(xíng)状(zhuàng)。（图(tú)/Domokos et. al./ PNAS Nexus）

图6：软细胞拥有最小数(shù)量(liàng)的(de)尖(jiān)角(jiǎo)，并(bìng)且(qiě)能(néng)没(méi)有(yǒu)缝(fèng)隙(xì)地(de)铺(pù)砌(qì)空(kōng)间(jiān)。在(zài)自(zì)然(rán)界(jiè)和(hé)建(jiàn)筑(zhù)中(zhōng)都(dōu)存(cún)在(zài)有(yǒu)着(zhe)两(liǎng)个(gè)尖(jiān)角(jiǎo)的(de)软(ruǎn)细(xì)胞(bāo)的(de)例(lì)子(zi)。第(dì)1列(liè)显(xiǎn)示(shì)的(de)是(shì)几(jǐ)何(hé)软细胞示例，第2、3列显示的是自然界的软细胞示例，第4列显示的是建筑师扎哈·哈迪德的建筑设计。（图/Wikimedia Commons, Google Earth, Krisztina Regős.）

其实，当一些建筑师想要避免拐角时，他们也会凭直觉创造出这些形状，比如著名建筑师扎哈·哈迪德被称为“曲线女王”，她的设计就以大胆的曲线而闻名。这些建筑师在不知不觉中已经创造出了“软细胞”。

这项发现同样带来了几何学和生物学的一系列问题。目前，科学家还不清楚大自然究竟是如何利用这些“软”的形状来实现几何复杂性的。他们推测，自然通常会避免拐角，可能是因为拐角的扭折在形变能上的成本很高，也有可能会带来某些结构性的劣势。这可能是某种“自然的智慧”。

本文为·创作培育计划扶持作品

作者名称：沈雯

审核：刘歆 中国科学院数学与系统科学研究院 研究员

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司